Linear Maps
Eine lineare Abbildung
(1)
\begin{align} L(\alpha a + \beta b) = \alpha L(a) + \beta L(b) \end{align}
kann man als Matrix schreiben:
(2)
\begin{eqnarray} L( \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ \end{array} \right)_\mathcal{E} ) &=& L(xe_1+ye_2+ze_3) \\ &=& xL(e_1) + yL(e_2) + zL(e_3) \\ &=& \left( \begin{array}{c} \\ L \\ \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ \end{array} \right) \\ &=& \left( \begin{array}{c|c|c} & & \\ f_1 & f_2 & f_3 \\ & & \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ \end{array} \right) \end{eqnarray}
Die Spalten $f_i$ der Matrix sind somit die Bilder der Basisvektoren.
Basiswechselmatrizen
Mit den beiden Basen
(3)
\begin{eqnarray} P = [ p_1 | p_2 | p_3 ] &:& e_i \mapsto p_i \\ Q = [ q_1 | q_2 | q_3 ] &:& e_i \mapsto q_i \\ \end{eqnarray}
gilt
(4)
\begin{align} QP^{-1} &:& p_i \mapsto q_i. \end{align}
Ist $P$ orthonormal, so gilt $P^{-1} = P^T$.
Spezielle lineare Abbildungen
Skalierung
(5)
\begin{align} Sc = \left( \begin{array}{ccc} \alpha & 0 & 0 \\ 0 & \beta & 0 \\ 0 & 0 & \gamma \\ \end{array} \right) \end{align}
Scherung
Beispielsweise in der $(x,y)$-Ebene:
(6)
\begin{align} Sh = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & s \\ 0 & 1 & t \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \end{align}
Rotation
Um die $x$-Achse um den Winkel $\alpha$:
(7)
\begin{align} R_{x, \alpha} = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha & -\sin \alpha \\ 0 & \sin \alpha & \cos \alpha \\ \end{array} \right) \end{align}
Welcher $\sin$ negativ ist, bestimmt die Drehrichtung. So wird mathematisch positiv gedreht, wenn man in Richtung der positiven x-Achse guckt.
Um den Vektor $n$ und um den Winkel $\alpha$:
(8)
\begin{eqnarray} R_{n, \alpha} &=& \cos(\alpha) I + (1-\cos\alpha)nn^T + \sin\alpha R_n \\ R_n &=& \left( \begin{array}{ccc} 0 & -n_z & n_y \\ n_z & 0 & -n_x \\ -n_y & n_x & 0 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray}
Bildchen malen!
Bei dieser Rotation wird mit den drei orthogonalen Vektoren $n, n \times p, (I-nn^T)p$ eine Basis aufgebaut, mit der dann die Rotation zu einer trivialen Rotation um eine der Basisvektoren wird. $R_n$ ist das Kreuzprodukt des Vektors $n$ mit dem übergebenen Vektor.
Test: Will man den Punkt $p = un + v\bar{n}$, wobei $\bar{n}$ der zu $n$ senkrechte Anteil von $p$ ist, um $n$ und $\alpha$ rotieren, so ergibt sich:
(9)
\begin{eqnarray} R_{n, \alpha}(p) &=& R_{n, \alpha}(un + v\bar{n} ) \\ &=& uR_{n, \alpha}(n) + vR_{n, \alpha}(\bar{n}) \\ &=& un + v(\cos \alpha \bar{n} + \sin \alpha \bar{\bar{n}}), \end{eqnarray}
mit $\bar{\bar{n}} = n \times \bar{n}$.
Affine Abbildungen
Erweiterte Koordinaten
- Punkt: $[x, y, z, 1]^T$
- Vektor: $[x,y,z,0]^T$
Die Translation ist keine lineare Abbildung (Bild des Ursprungs), daher werden erweiterte Koordinaten benötigt, um die Translation mit einer Matrix darstellen zu können.
Eine Affine Abbildung hat dann die Form
(10)
\begin{align} A: p \mapsto L(p) + t \end{align}
bzw. als Matrix
(11)
\begin{align} A = \left( \begin{array}{ccc|c} & & & \\ & L & & t \\ &&&\\ \hline 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{align}
Konkatenation
Lokales vs. Globales Koordinatensystem
